Question

10．在平面直角坐标系xoy中，已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，且过点P作直线l的垂线，垂足为Q，满足：$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）在轨迹C上求一点M，使得M到直线y=x-3的距离最短，并求出最短距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x，y），则Q（x，-1），F（0，1），由$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．根据向量数量积的坐标运算，即可求得动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）法一：设$M（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$，利用点到直线的距离公式$d=\frac{{|{{x_0}-\frac{x_0^2}{4}-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{{（{{x_0}-2}）}^2}+8}}{{4\sqrt{2}}}$，由二次函数的性质可知：${x_0}=2时，{d_{min}}=\sqrt{2}$，求得M（2，1）；
法二：当与直线y=x-3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x-3的距离最短将直线方程代入抛物线方程，则△=0，即可求得m和x值，即可取得M到直线y=x-3的距离最短；
当与直线y=x-3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x-3的距离最短．设切点为$M（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$，求导，求得切线斜率为$\frac{x_0}{2}=1$，即可求得，M点坐标，根据点到直线的距离公式即可求得，M到直线y=x-3的距离最短．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），则Q（x，-1），F（0，1），
∴$\overrightarrow{QP}=（{0，y+1}），\overrightarrow{QF}=（{-x，2}）$，$\overrightarrow{FP}=（{x，y-1}），\overrightarrow{FQ}=（{x，-2}）$，…（4分）
$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．
∴2（y+1）=x²-2（y-1），化简得：x²=4y，
所求轨迹为：x²=4y…（6分）
（Ⅱ）法一：设$M（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$，则M到直线y=x-3的距离为$d=\frac{{|{{x_0}-\frac{x_0^2}{4}-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{{（{{x_0}-2}）}^2}+8}}{{4\sqrt{2}}}$，
∴${x_0}=2时，{d_{min}}=\sqrt{2}$，
此时M（2，1）为所求．…（12分）
法二：当与直线y=x-3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x-3的距离最短．
设该直线方程为y=x+m，…（7分）
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}=4y\end{array}\right.⇒{x^2}-4x-4m=0，△=16+16m=0$，
解得：m=-1，x=2，
∴M（2，1）到直线y=x-3的距离最短，最短距离为$\sqrt{2}$．…（12分）
法三：当与直线y=x-3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x-3的距离最短．
设切点为$M（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$，
轨迹方程可化为：$y=\frac{x^2}{4}，y'=\frac{x}{2}$，切线斜率为$\frac{x_0}{2}=1$，
∴x₀=2，
则M到直线y=x-3的距离为$d=\frac{{|{{x_0}-\frac{x_0^2}{4}-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{{（{{x_0}-2}）}^2}+8}}{{4\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2}$，
则M到直线y=x-3的距离的最小值为$\sqrt{2}$，此时M（2，1）．

点评 本题考查抛物线的轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，导数的几何性质，考查计算能力，属于中档题．