Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

 

Answer 1

(1) y＝3或3x＋4y－12＝0 (2)

【解析】

解　(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．

设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，得＝1，解得k＝0或－，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，

所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.

设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．

由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，

即1≤≤3.整理得－8≤5a2－12a≤0.

由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.

所以点C的横坐标a的取值范围是.