Question

设函数f(x)=

a

3

x3+

b-1

2

x2+x+5（a，b∈R，a＞0）的定义域为R，当x=x₁时，取得极大值；当x=x₂时取得极小值，|x₁|＜2且|x₁-x₂|=4．
（1）求证：x₁x₂＞0；
（2）求证：（b-1）²=16a²+4a；
（3）求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的性质，转换成二次函数的形式即可．
（2）利用（1）的二次函数，通过韦达定理，求出x₁+x₂=

(b-1)2-4a

a

．进而证明题设
（3）分0＜x＜2和-2＜x＜0两种情况，最后取并集．

解答：（1）证明：f′（x）=ax²+（b-1）x+1，
由题意，f′（x）=ax²+（b-1）x+1=0的两根为x₁，x₂
∴x1x2=

1

a

＞0．
（2）|x1-x2|=

(b-1)2-4a

a

=4
∴（b-1）²=16a²+4a．
（3）①若0＜x₁＜2，则

1-b＞0 f′(2)=4a+2b-1＜0

∴4a+1＜2（1-b），从而（4a+1）²＜4（1-b）²=4（16a²+4a）
解得a＞

1

12

或a＜-

1

4

（舍）
∴2(1-b)＞

4

3

，得b＜

1

3

．
②若-2＜x₁＜0，则

1-b＜0 f′(-2)=4a-2b+3＜0

∴4a+1＜2（b-1），从而（4a+1）²＜4（1-b）²=4（16a²+4a）
解得a＞

1

12

或a＜-

1

4

（舍）
∴2(b-1)＞

4

3

，∴b＞

5

3

综上可得，b的取值范围是(-∞，

1

3

)∪(

5

3

，+∞)

点评：本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识，综合分析问题和解决问题的能力．