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    【题目】已知抛物线： ，定点（常数）的直线与曲线相交于、两点.

    （1）若点的坐标为，求证：

    （2）若，以为直径的圆的位置是否恒过一定点？若存在，求出这个定点，若不存在，请说明理由.

    【答案】（1）证明见解析（2））以为直径的圆恒过定点

    【解析】试题分析：（1）要证明∠AED=∠BED，根据直线的倾斜角与斜率的关系，只要证KAE=-KBE即可，讨论直线AB的斜率是否存在，设出直线方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，即可得证；（2）设动直线l方程为x=ty+b，表示出B坐标，联立l与抛物线解析式，消去x得到关于y的方程，根据根的判别式等于0得出t与b的关系式，进而设出A与O的坐标，表示出向量AO与向量BO根据圆周角定理得到两向量垂直，即数量积为0，列出关系式，确定出当m=1，n=0时，上式对任意x∈R恒成立，即可得出使得以AB为直径的圆恒过点O，以及此时O的坐标.

    试题解析：（1）（a）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性有， ；

    当直线与轴不垂直时，依题意，

    可设直线的方程为（， ）

    ， ，则、两点的坐标

    满足方程组

    消去并整理，得

    ，

    设直线和的斜率分别为， ，则

    ，

    .

    综合（a）（b）可知.

    （2）以为直径的圆恒过定点.提示：证明

    练习册系列答案
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    (1)求直方图中x的值;

    (2)求月平均用电量的众数和中位数;

    (3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?

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    (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；

    (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.

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    【题目】某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件.根据所给数据：

    ⑴写出列联表；⑵判断产品是否合格与设备改造是否有关，说明理由.

    附： ，

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    【题目】设函数（）.

    （1）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；

    （2）求函数的极值点；

    （3）令， ，设， ， 是曲线上相异三点，其中.求证： .

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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 的极坐标方程为．

    （Ⅰ）求曲线的参数方程；

    （Ⅱ）过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、，且点在第一象限，当四边形的周长最大时，求直线的普通方程．

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    【题目】为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系.某重点高中数学教师对高三年级的50名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有22人，余下的人中，在高三年级模拟考试中数学平均成绩不足120分钟的占，统计成绩后，得到如下的列联表：

    分数大于等于120分钟

    分数不足120分

    合计

    周做题时间不少于15小时

    4

    22

    周做题时间不足15小时

    合计

    50

    （Ⅰ）请完成上面的列联表，并判断能否有99%以上的把握认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；

    （Ⅱ）（ⅰ）按照分层抽样，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；

    （ii） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.

    附：

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

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    【题目】已知函数，设为曲线在点处的切线，其中.

    （Ⅰ）求直线的方程（用表示）；

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    （Ⅲ）设直线分别与曲线和射线（）交于， 两点，求的最小值及此时的值.

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