Question

（1）求经过直线l₁：7x-8y-1=0和l₂：2x+17y+9=0的交点，且平行于直线2x-y+7=0的直线方程．
（2）已知直线l的方程是mx+4y+2m-8=0，圆C的方程是x²+y²-4x+6y-29=0，求直线l被圆截得的弦长最短时的l的方程．

Answer 1

分析：（1）联立两直线的方程，解方程组求得交点，再由点斜式求解．
（2）因为直线l的方程为mx+4y+2m-8=0，即4（y-2）+m（x+2）=0，直线l过定点M（-2，2），再将圆的方程化为标准方程为（x-2）²+（y+3）²=42，所以圆心C坐标为（2，-3），半径为

42

．由

(2+2)2+(2+3)2

=

41

＜

42

，可知直线l和圆必相交．然后再根据直线过圆心时弦长最长，该点与圆心的连线与直线垂直时最短求解．

解答：解：（1）由方程组

2x+17y+9=0 7x-8y-1=0

，解得

x=- 11 27 y=- 13 27

，（2分）
所以交点坐标为(-

11

27

，-

13

27

)．
又因为直线斜率为k=2，（3分）所以求得直线方程为6x-3y+1=0（4分）
（2）因为直线l的方程为mx+4y+2m-8=0，
即4（y-2）+m（x+2）=0，直线l过定点M（-2，2）．（6分）
将圆的方程化为标准方程为（x-2）²+（y+3）²=42
所以圆心C坐标为（2，-3），半径为

42

．因为

(2+2)2+(2+3)2

=

41

＜

42

所以点（-2，2）在圆内，所以直线l和圆必相交．（8分）
当直线l被圆截得的弦长最短时，直线l与CM所在直线垂直，（10分）
因为CM所在的直线斜率为k=

2-(-3)

-2-2

=-

5

4

，所以直线l的斜率为

4

5

，
所以直线l的方程为y-2=

4

5

(x+2)，即4x-5y+18=0．（12分）

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了旋转直线系，直线与圆相交弦长的最值问题．