Question

设函数y=log₂（mx²-2x+2）定义域为A，集合B=[

1

2

，2]
（1）A=R，求m的取值范围，
（2）A∩B≠∅，求m的取值范围
（3）log₂（mx²-2x+2）＞2在B上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数y=log₂（mx²-2x+2）定义域为R，则mx²-2x+2＞0在R上恒成立，讨论二次项系数与判别式可求出m的取值范围；
（2）根据A∩B≠∅，则mx²-2x+2＞0在集合B=[

1

2

，2]上有解，然后利用参数分离法进行求解即可；
（3）根据log₂（mx²-2x+2）＞2在B上恒成立，则mx²-2x-2＞0在集合B=[

1

2

，2]上恒成立，然后利用参数分离法进行求解即可．

解答：解：（1）∵函数y=log₂（mx²-2x+2）定义域为R
∴mx²-2x+2＞0在R上恒成立
当m=0时，x＜1，不在R上恒成立，故舍去
当m≠0时

m＞0 △＜0

解得m＞

1

2

∴A=R，求m的取值范围（

1

2

，+∞）
（2）∵A∩B≠∅，
∴mx²-2x+2＞0在集合B=[

1

2

，2]上有解
∴-

m

2

＜

1

x2

-

1

x

在集合B=[

1

2

，2]上有解
∴-

m

2

＜(

1

x2

-

1

x

)max=2
即m＞-4
（3）∵log₂（mx²-2x+2）＞2在B上恒成立
∴mx²-2x-2＞0在集合B=[

1

2

，2]上恒成立
∴

m

2

＞

1

x2

+

1

x

在集合B=[

1

2

，2]上恒成立
即

m

2

＞(

1

x2

+

1

x

)max=6
∴m＞12

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的性质，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．