Question

【题目】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为li（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1 ， l2 ， l3 ， l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；
A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1=|AE|= =13．
（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称．
设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2 ， yE2 ， 24）
根据相似三角形易知：
xE2=2xE=2×4=8，
yE2=2yE=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内．
根据反射原理，E2在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．
所以F的坐标为（8，6，0）．
因此：l2=|EF|= =13．
（3）l3长度计算
设G的坐标为：（xG ， yG ， zG）
如果G落在平面BCC1B1；
这个时候有：xG=11，yG≤7，zG≤12
根据反射原理有：AE∥FG
于是：向量 与向量 共线；
即有： =λ
因为： =（4，3，12）； =（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）=（3，yG﹣6，zG）
即有：（4，3，12）=λ（3，yG﹣6，zG）
解得：yG= ，zG=9；
故G的坐标为：（11， ，9）
因为： ＞7，故G点不在平面BCC1B1上，
所以：G点只能在平面DCC1D1上；
因此有：yG=7；xG≤11，zG≤12
此时： =（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）=（xG﹣8，1，zG）
即有：（4，3，12）=λ（xG﹣8，1，zG）
解得：xG= ，zG=4；
满足：xG≤11，zG≤12
故G的坐标为：（ ，7，4）
所以：l3=|FG|= =
（4）l4长度计算
设G点在平面A1B1C1D1的投影为G’，坐标为（ ，7，12）
因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；
即：AEFGH共面
故EG的反射线GH只能与平面A1B1C1D1相交，且交点H只能在A1G'；
易知：l4＞|GG’|=12﹣4=8＞l3 ．
根据以上解析，可知l1 ， l2 ， l3 ， l4要满足以下关系：
l1=l2；且l4＞l3
对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件．
故本题选：C．