Question

3．已知△ABC的面积为3，且满足0≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，设$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）=sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos²θ的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinθ=3，由0≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，可得0≤AB•AC•cosθ≤6，求得0≤cotθ≤1，可得θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
（2）利用三角恒等变换化简函数f（θ）=sin（2θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．由θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）的值域．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinθ=3，∴AB•AC•sinθ=6． 
由0≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，可得0≤AB•AC•cosθ≤6，故有0≤$\frac{6cosθ}{sinθ}$≤6，
求得0≤cotθ≤1，∴θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
（2）函数f（θ）=sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos²θ=$\frac{1-cos（2θ+\frac{π}{2}）}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2θ）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ=sin（2θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．
由θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得2θ-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（2θ-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．