Question

【题目】已知函数 ．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若﹣1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），

f′（x）= ，

当﹣1＜x＜0或＞3时，f′（x）＞0，当0＜x＜1或1＜x＜3，f′（x）＜0，

所以函数f（x）的增区间为（﹣1，0），（3，+∞），减区间为（0，1），（1，3）

（2）解：f′（x）= ，

当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故0＜x＜1时，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．

当a＞0时，由f′（x）=0，得x1= ，x2= ．

若0＜a＜1，此时0＜x1＜1，对0＜x＜x1，有f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．

若a＞1，此时﹣1＜x1＜0，对x1＜x＜0，有f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．

若a=1，由（Ⅰ）知，函数f（x）在x=0处取得最大值0，符合题意，

综上实数a的取值为1

【解析】（1）当a=1时，f（x）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞）， 求出f′（x）= ，即可求单调区间；（2）f′（x）= ，
分（1）a≤0，（2）当a＞0，讨论单调性及最值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．