【题目】称正整数集合 A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质 P:如果对任意的i,j(1≤i≤j≤n),与
两数中至少有一个属于A.
(1)分别判断集合{1,3,6}与{1,3,4,12}是否具有性质 P;
(2)设正整数集合 A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质 P.证明:对任意1≤i≤n(i∈N*),ai都是an的因数;
(3)求an=30时n的最大值.
【答案】(1){1,3,6}不具有,{1,3,4,12}具有;(2)证明见解析;(3)8
【解析】
(1)根据性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与两数中至少有一个属于A,验证两集合集{1,3,6}与{1,3,4,12}中的任何两个元素的积、商是否为该集合中的元素;(2)运用反证法,结合A具有性质P,即可得证;(3)运用30的质因数分解,结合组合的知识,即可得到n的最大值.
(1)由于3×6与均不属于数集{1,3,6},∴数集{1,3,6} 不具有性质P;
由于1×3,1×4,1×12,3×4,,
都属于数集{1,2,3,6},
∴数集{1,3,4,12} 具有性质P.
(2)证明:设正整数集合 A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质 P,
即有对任意的i,j(1≤i≤j≤n),与
两数中至少有一个属于A.
运用反证法证明.假设存在一个数ai不是an的因数,
即有aian与或
,都不属于A,这与条件A具有性质P矛盾.
故假设不成立.
则对任意1≤i≤n(i∈N*),ai都是an的因数;
(3)由(2)可知,均为
的因数,
由于30=2×3×5,由组合的知识可知2,3,5都有选与不选2种可能.
共有2×2×2=8种,即n的最大值为8.
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【题目】请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题(2)中,若问题(2)中的实数存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
已知集合.
(1)求集合;
(2)若是
成立的______条件,判断实数
是否存在?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
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【题目】某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式;
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,怎样分配资金才能获得最大收益?其最大收益为多少万元?
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【题目】设n是一个正整数,定义n个实数a1,a2,…,an的算术平均值为.设集合 M={1,2,3,…,2015},对 M的任一非空子集 Z,令αz表示 Z中最大数与最小数之和,那么所有这样的αz的算术平均值为______.
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【题目】如图,已知、
两个城镇相距20公里,设
是
中点,在
的中垂线上有一高铁站
,
的距离为10公里.为方便居民出行,在线段
上任取一点
(点
与
、
不重合)建设交通枢纽,从高铁站铺设快速路到
处,再铺设快速路分别到
、
两处.因地质条件等各种因素,其中快速路
造价为1.5百万元/公里,快速路
造价为1百万元/公里,快速路
造价为2百万元/公里,设
,总造价为
(单位:百万元).
(1)求关于
的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)求总造价的最小值,并求出此时的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系,曲线
的参数方程为
(
为参数,
),直线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)若为曲线
上任意一点,
为直线
任意一点,求
的最小值.
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【题目】党的十八提出:倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次写在六张规格相同的卡片的正反面(无区分),(如“富强、民主”写在同一张卡片的两面),从中任意抽取1张卡片,则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,以轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为:
.
(1)若曲线的参数方程为
(
为参数),求曲线
的直角坐标方程和曲线
的普通方程;
(2)若曲线的参数方程为
(
为参数),
,且曲线
与曲线
的交点分别为
、
,求
的取值范围.
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【题目】若二次函数f(x)满足f(x+1)﹣f(x)=4x+6,且f(0)=3.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)+(a﹣2)x2+(2a+2)x,g(x)在[﹣2,+∞)单调递增,求a的取值范围.
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