Question

设函数f（x）=lnx+．
（I）若函数f（x）的图象上任意一点P（x，y）处切线的斜率k≤，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=0时，若x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，证明：；
（Ⅲ）当a=0时，若方程m[f（x）+g（x）]=（m＞0）有唯一解，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知，k=f′（x）=在（0，+∞）上恒成立，只需a≥（）max，
（Ⅱ）（Ⅱ）当a=0时，F（x）=f（1+e^x）-g（x）=ln（1+e^x）-x，（x∈R），利用作差法，判断的正负号，进行证明．
（Ⅲ）当a=0时，方程m[f（x）+g（x）]=（m＞0）有唯一解，即为x²-2mlnx-2mx=0有唯一解，
设H（x）=x²-2mlnx-2mx，利用导数研究解决．
解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由题意k=f′（x）=在（0，+∞）上恒成立．，所以a≥（）max，当x0=1时，
（）max=，∴a
（Ⅱ）当a=0时，F（x）=f（1+e^x）-g（x）=ln（1+e^x）-x，（x∈R），设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则=ln（1+e^x₁）+ln（1+e^x₂）-x₁-x₂-2[ln（1+）-]
=ln（1+e^x₁）（1+e^x₂）-ln（1+）²
=ln（1+e^x₁+e^x₂₊）-ln（1+2+e^x₁+x₂），
∵e^x₁＞0，e^x₂＞0，且x₁≠x₂，∴+e^x₁+e^x₂＞=2，
1+e^x₁+e^x₂₊）＞1+2+e^x₁+x₂），
ln（1+e^x₁+e^x₂₊）＞ln（1+2+e^x₁+x₂），
∴＞0
即；
（Ⅲ）当a=0时，方程m[f（x）+g（x）]=（m＞0）有唯一解，即为x²-2mlnx-2mx=0有唯一解，
设（x）=x²-2mlnx-2mx，则H′（x）=，令H′（x）=0，则x²-mx-m=0，m＞0，x＞0，∴＜0（舍去），，
当x∈（0，x₂）时，H′（x）＜0，H（x）在（0，x₂）上单调递减
当x∈（x₂，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）在（x₂，+∞）上单调递增．
当x=x₂时，H（x）取最小值H（x₂），则即两式相减得2mlnx₂+mx₂-m=0，∵m＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0①，
设M（x）=2lnx+x-1，∵x＞0，M（x）是增函数，∴M（x）=0至多有一解．∵M（1）=0，∴方程①的解为x₂=1，
即=1，解得m=．
点评：本题是函数与不等式综合题，考查导数的几何意义，基本不等式的应用，利用导数研究函数的性质，综合性强．