Question

已知函数f（x）在定义域R内是增函数，且f（x）＜0，则g（x）=x²f（x）的单调情况一定是（ ）
A．在（-∞，0）上递增
B．在（-∞，0）上递减
C．在R上递减
D．在R上递增

Answer 1

【答案】分析：根据函数f（x）在定义域R内是增函数则f'（x）＞0在定义域R上恒成立，然后求出导函数g'（x），讨论x，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间．
解答：解：∵函数f（x）在定义域R内是增函数
∴f'（x）＞0在定义域R上恒成立
∵g（x）=x²f（x）
∴g'（x）=2xf（x）+x²f'（x）
当x＜0时，而f（x）＜0，则2xf（x）＞0，x²f'（x）＞0所以g'（x）＞0
即g（x）=x²f（x）在（-∞，0）上递增
当x＞0时，2xf（x）＜0，x²f'（x）＞0，则g'（x）的符号不确定，从而单调性不确定
故选A．
点评：本题主要考查了抽象函数的单调性，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．