Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E为的PC中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．

Answer 1

证明（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO．
∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC中点，
又E为PC中点．∴PA∥EO．
又EO?面BDE，PA?面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）在△PAC中，易得，
∴∠APC=90°，∴，
∴PD²+DC²=PC²，∴∠PDC=90°，在△PDC中可求得，
同理在△PBC中可求得，
∴在△BDE中可得∠BED=90°，即BE⊥DE．
又PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC．
又PC∩DE=E，
∴BE⊥面PDC，又BE?面PBC，
∴平面PBC⊥平面PDC．
分析：（1）连接AC交BD于O，连接EO，利用三角形的中位线定理可得PA∥EO，再利用线面平行的判定定理即可得出；
（2）利用“三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形”即可得到∠APC=90°得到PC的长，再利用勾股定理得到逆定理可得∠BED=90°；利用等腰三角形的性质可得BE⊥PC，利用线面垂直的判定定理即可得到BE⊥平面PDC，再利用面面垂直的判定定理即可证明面面垂直．
点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、“三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形”、勾股定理得到逆定理、等腰三角形的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理是解题的关键．