【题目】已知椭圆C:的离心率为,且过点P(3,2).
(1)求椭圆C`的标准方程;
(2)设与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A,B两点,求证:直线PA,PB与轴围成一个等腰三角形.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】分析:(1)由题意可得a2=18,b=3.则椭圆C的标准方程为:.
(2)设直线l的方程为2x﹣3y+t=0(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程代入椭圆方程得:8x2+4tx+t2﹣72=0,结合韦达定理计算可得kAP+kBP=0,则kAP=﹣kBP,即直线PA,PB与轴围成一个等腰三角形.
详解:(1)由题意可得:,=1,a2=b2+c2,联立解得:a2=18,b=3.
∴椭圆C的标准方程为:.
(2)设直线l的方程为2x﹣3y+t=0(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程代入椭圆方程得:8x2+4tx+t2﹣72=0,
△>00<|t|<12,
∴,,
∵kAP+kBP=+=,
∴分子=(x2﹣3)+
=+(x1+x2)﹣2t+12=+﹣2t+12=0,
∴kAP+kBP=0,∴kAP=﹣kBP,∴直线PA、PB与x轴所成的锐角相等,故围成等腰三角形.
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【题目】如图4,四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°.PA⊥平面ABCD,E为PC中点.
(Ⅰ)求证:平面BED⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求平面PBA与平面EBD所成二面角(锐角)的余弦值.
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【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn , 且a2=8,S4=40.数列{bn}的前n项和为Tn , 且Tn﹣2bn+3=0,n∈N* .
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn= , 求数列{cn}的前n项和Pn .
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【题目】通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级,其计算公式为:,其中,是被测地震的最大振幅,是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)。
(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是30,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1);
(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?
(以下数据供参考:, )
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【题目】已知函数f(x)= sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ ≤φ< )的图象关于直线x= 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f( )= ( <α< ),求cos(α+ )的值.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 在统计学中,回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的,,
一个点
C. 在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高
D. 在回归分析中,相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差
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【题目】2002年北京国际数学家大会会标,是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的,弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图,若大、小正方形的面积分别为25和1,直角三角形中较大锐角为,则等于
A. B. C. D.
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【题目】为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点( )
A.向左平行移动 个单位长度
B.向右平行移动 个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
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