Question

1．已知正六边形A₁A₂…A₆内接于圆O，点P为圆O上一点，向量$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{O{A_i}}$的夹角为θ_i（i=1，2，…，6），若将θ₁，θ₂，…，θ₆从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 可假设该等差数列的前三项分别为θ₁，θ₂，θ₃，然后画出图形，通过图形便可看出${θ}_{2}=\frac{π}{3}-{θ}_{1}，{θ}_{2}=\frac{π}{3}+{θ}_{1}$，根据该数列为等差数列便可求出θ₁，从而求出θ₃，即得出该等差数列的第三项的值．

解答 解：设组成等差数列的前三项为：θ₁，θ₂，θ₃，如图，$∠{A}_{1}OP={θ}_{1}，{θ}_{1}＜\frac{π}{6}$，则：
${θ}_{2}=\frac{π}{3}-{θ}_{1}，{θ}_{3}=\frac{π}{3}+{θ}_{1}$；
θ₁，θ₂，θ₃成等差数列；
∴2θ₂=θ₁+θ₃；
即$\frac{2π}{3}-2{θ}_{1}={θ}_{1}+\frac{π}{3}+{θ}_{1}$；
∴${θ}_{1}=\frac{π}{12}$；
${θ}_{3}=\frac{5π}{12}$；
即该等差数列的第三项为$\frac{5π}{12}$．
故答案为：$\frac{5π}{12}$．

点评 考查对圆内接正六边形的认识，数形结合解题的方法，等差数列的概念，及等差中项的概念．