【题目】如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪, 图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.
(1).设AD=x(x≥0),DE=y,求用x表示y的函数关系式,并求函数的定义域;
(2).如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请予证明.
【答案】(1);(2)如果DE是水管,DE的位置在AD=AE=处,如果DE是参观路线,则DE为AB中线或AC中线时,DE最长,证明过程详见解析.
【解析】
试题(1)在△ADE中,利用余弦定理可得,又根据面积公式可得,消去AE后即可得到y与x的函数关系式,又根据可以得到x的取值范围;(2)如果DE是水管,则问题等价于当时,求的最小值,利用基本不等式即可求得当时,y有最小值为,如果DE是参观路线,则问题等价于问题等价于当时,求的最小值,根据函数在[1,2]上的单调性,可得当x=1或2时,y有最小值.
(1)在△ADE中,由余弦定理:①
又∵ ②
②代入①得(y>0), ∴,
由题意可知,所以函数的定义域是,
;
(2)如果DE是水管,
当且仅当,即x=时“=”成立,故DE∥BC,且DE=.
如果DE是参观线路,记,可知函数在[1,]上递减,在[,2]上递增,
故 ∴y max=.即DE为AB中线或AC中线时,DE最长.
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【题目】给出下列命题:
①已知集合,则“”是“”的充分不必要条件;
②“”是“”的必要不充分条件;
③“函数的最小正周期为”是“”的充要条件;
④“平面向量与的夹角是钝角”的要条件是“”.
其中正确命题的序号是 .(把所有正确命题的序号都写上)
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【题目】某工厂从一批产品中随机抽取20件进行检测,如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[140,200],样本数据分组为[140,150),[150,160),[160,170),[170,180),[180,190),[190,200].
(1)求图中a的值;
(2)若频率视为概率,从这批产品中有放回地随机抽取3件,求至少有2件产品的净重在[160,180)中的概率;
(3)若产品净重在[150,190)为合格产品,其余为不合格产品,从这20件抽样产品中任取2件,记X表示选到不合格产品的件数,求X的分布列和数学期望.
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=﹣ n2+kn(其中k∈N+),且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k,求an;
(2)求数列 的前n项和Tn .
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