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如图,l1、l2是两条互相垂直的异面直线,点P、C在直线l1上,点A、B在直线l2上,M、N分别是线段AB、AP的中点,且PC=AC=a,
(Ⅰ)证明:PC⊥平面ABC;
(Ⅱ)设平面MNC与平面PBC所成的角为θ(0°<θ≤90°).现给出下列四个条件:
;②;③CM⊥AB;④BC⊥AC.
请你从中再选择两个条件以确定cosθ的值,并求之.

【答案】分析:(I)在△PAC中根据PC=AC=a,,三边满足勾股定理则PC⊥AC,根据题意可知PC⊥AB,又AC∩AB=A,满足线面垂直的判定定理,从而得证;
(II)本小问具有开放性,选择②④可确定cosθ的大小,根据AC⊥BC,且AB=,AC=a则BC=a,以C为坐标原点,的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系,=(0,a,0)是平面PBC的一个法向量,然后求出平面MNC的法向量,然后根据cos<>=,从而求出cosθ的值.
解答:证明:(I)在△PAC中∵PC=AC=a,
∴PC2+AC2=PA2,∴PC⊥AC
∵l1、l2是两条互相垂直的异面直线,点P、C在直线l1上,点A、B在直线l2上,
∴PC⊥AB,又AC∩AB=A
∴PC⊥平面ABC
(II)选择②④可确定cosθ的大小
∵AC⊥BC,且AB=,AC=a
∴BC=a
以C为坐标原点,的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系
则C(0,0,0),B(a,0,0),A(0,a,0),P(0,0a)
又M、N分别是线段AB、AP的中点,
∴M(,0),N(0,
∵CA⊥平面PBC
=(0,a,0)是平面PBC的一个法向量
设平面MNC的法向量=(x,y,z)

取x=1,得=(1,-1,1)为平面MNC的一个法向量
∴cos<>===-
∴cosθ=
点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及用空间向量求平面间的夹角,同时考查了开放性问题,属于中档题.
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2
a

(Ⅰ)证明:PC⊥平面ABC;
(Ⅱ)设平面MNC与平面PBC所成的角为θ(0°<θ≤90°).现给出下列四个条件:
CM=
1
2
AB
;②AB=
2
a
;③CM⊥AB;④BC⊥AC.
请你从中再选择两个条件以确定cosθ的值,并求之.

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如图,l1,l2是两条互相垂直的异面直线,点P,C在直线l1上,点A, B在直线l2上,M,N分别是线段AB,AP的中点,且PC=AC=a,PA=a,
(Ⅰ)证明:PC⊥平面ABC;
(Ⅱ)设平面MNC与平面PBC所成的角为θ(0°<θ≤90°)。现给出下列四个条件:①CM=AB;②AB=a;③CM⊥AB;④BC⊥AC。请你从中再选择两个条件以确定cosθ的值,并求解.

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