Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证BC⊥平面PAC，只需证明BC垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可；
（Ⅱ）D为PB的中点，作出AD与平面PAC所成的角∠DAE，然后求其余弦值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，BC?面ABC∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．
∵PA与AC相交∴BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=

1

2

BC，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=

1

2

AB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=

1

2

AB，
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=

DE

AD

=

BC

2AD

=

2

4

，
．AD与平面PAC所成的角的余弦值为

14

4

；

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．