Question

3．设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）证明：数列{a_n}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{n•（a_n+1）}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a_n+1=2a_n+1．变形为a_n+1+1=2（a_n+1）．即可证明．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
可得：a_n+1+1=2（a_n+1）．
∴数列{a_n+1}是等比数列，公比为2，首项为2．
∴a_n+1=2ⁿ，
可得a_n=2ⁿ-1．
（2）解：n•（a_n+1）=n•2ⁿ．
数列{n•（a_n+1）}的前n项和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
故T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．