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如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA'与底面相邻两边AB,AC都成45°角.

(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积.
(Ⅱ)求三棱锥B'-ABC的体积.

(1)(+1)ab+a2;(2).

解析试题分析:(1)要求表面积,最难求的是面的面积,要分析它的特征,如图,过A'作A'D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接A'E,A'F,AD.由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.,因此A'E=A'F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四边形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.又∵斜三棱柱的底面积为2×a2=a2,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2.(2)求B'-ABC的体积,要求出底面ABC的面积,高的求解根据
所以.
试题解析:

(1)如图,过A'作A'D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接A'E,A'F,AD.
由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.
因此A'E=A'F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,
又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四边形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.
又∵斜三棱柱的底面积为2×a2=a2,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2.
(2)由(1),所以.
考点:1.三棱锥体积和表面积的求解.

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