如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA'与底面相邻两边AB,AC都成45°角.
(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积.
(Ⅱ)求三棱锥B'-ABC的体积.
(1)(+1)ab+a2;(2).
解析试题分析:(1)要求表面积,最难求的是面的面积,要分析它的特征,如图,过A'作A'D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接A'E,A'F,AD.由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.,因此A'E=A'F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四边形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.又∵斜三棱柱的底面积为2×a2=a2,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2.(2)求B'-ABC的体积,要求出底面ABC的面积,高的求解根据,,,
所以.
试题解析:
(1)如图,过A'作A'D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接A'E,A'F,AD.
由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.
因此A'E=A'F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,
又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四边形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.
又∵斜三棱柱的底面积为2×a2=a2,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2.
(2)由(1),,,所以.
考点:1.三棱锥体积和表面积的求解.
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已知梯形中,,,、分别是、上的点,,.沿将梯形翻折,使平面⊥平面(如图).是的中点.
(1)当时,求证:⊥ ;
(2)当变化时,求三棱锥体积的最大值.
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如图,斜三棱柱中,侧面底面ABC,底面ABC是边长为2的等边三角形,侧面是菱形,,E、F分别是、AB的中点.
求证:(1);
(2)求三棱锥的体积.
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如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中,是的中点.又已知侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(Ⅰ)求证:EM∥平面ABC;
(Ⅱ)求出该几何体的体积.
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如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3
(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点到平面EA1C1的距离.
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如图所示,已知在圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A,求:
(1)设f(x)为绳子最短长度的平方,求f(x)表达式;
(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离;
(3)f(x)的最大值.
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