Question

在等差数列{a_n}中，设S_n为它的前n项和，若S₅=35，且点A（3，a₃）与点B（5，a₅）都在斜率为-2的直线上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=35，再结合等差数列的性质可得：a₃=7，再根据题中的条件可得：

a5-a3

5-3

=

2d

2

=d=-2，进而求出等差数列的通项公式．
（2）由（1）并且结合S_n=

n(a1+an)

2

，再根据二次函数的性质可得答案．

解答：解：（1）由题意可得：S₅=35，即a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=35，
因为在等差数列{a_n}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a_m+a_n=a_p+a_q，
所以5a₃=35，即a₃=7．
因为点A（3，a₃）与点B（5，a₅）都在斜率为-2的直线上，
所以

a5-a3

5-3

=

2d

2

=d=-2，即d=-2，
所以a₁=a₃-2d=11，
所以a_n=-2n+13，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=-2n+13．
（2）由（1）可得：S_n=

n(a1+an)

2

=12n-n²，
所以根据二次函数的性质可得：n=6时，S_n取最大值36．

点评：本题值域考查等差数列的性质与等差数列的通项公式，以及考查等差数列的前n项和的表达式等知识点，此题属于基础题，是各类考试命题的热点之一．