Question

已知函数f(x)=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，x≤0

，g(x)=clnx+b，且x=

2

是函数y=f（x）的极值点．
（I）求实数a的值，并确定实数m的取值范围，使得函数?（x）=f（x）-m有两个零点；
（II）是否存在这样的直线l，同时满足：①l是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线；  ②l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，如果存在，求实数b的取值范围；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其导函数，利用x=

2

是函数y=f（x）的极值点对应 f′(

2

)=0，求出a的值，进而求出函数f（x）的单调性；函数y=f（x）-m有两个零点，转化为函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，利用导函数求出函数y=f（x）的单调区间，画出草图，结合图象即可求出实数m的取值范围．
（II）利用导函数分别求出两个函数的切线方程，利用方程相等，对应项系数相等即可求出关于实数b的等式，再借助于其导函数即可求出实数b的取值范围．（注意范围限制）．

解答：解：（I）x＞0时，f（x）=（x²-2ax）e^x，∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
由已知，f′(

2

)=0∴[2+2

2

(1-a)-2a]e

2

=0，∴2+2

2

-2a-2

2

a=0
得a=1，所以x＞0时，f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x．（3分）
令f'（x）=0得x=

2

(x=-

2

舍去）．

当x＞0时，
当x∈(0，

2

)时，f（x）单调递减，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，0)
当x∈(

2

，+∞)f（x）单调递增，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，+∞)∴x＞0时，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，+∞)
要使函数?（x）=f（x）-m有两个零点，即方程f（x）-m=0有两不相等的实数根，也即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
（1）当b＞0时，m=0或m=(2-2

2

)e

2

；
（2）当b=0时，m∈(2-2

2

)e

2

，0)；
（3）当b＜0时，m∈((2-2

2

)e

2

，+∞)．（6分）
（II）假设存在，x＞0时，f（x）=（x²-2x）e^x，f'（x）=（x²-2）e^x，∴f（2）=0，f'（2）=2e²．
函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线l的方程为：y=2e²（x-2），
因直线l与函数g（x）的图象相切于点P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，∴y₀=clnx₀+b.g′(x)=

c

x

，
所以切线l的斜率为g′(x)=

c

x0

，
所以切线l的方程为：y-y0=

c

x0

(x-x0)即l的方程为：y=

c

x0

x-c+b+clnx0，
得

c x0 =2e2 -c+b+clnx0=-4e2

⇒

c=2e2x0 b=c-clnx0-4e2

．
得b=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]（10分）
记h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]，h'（x₀）=-2e²lnx₀，
令h'（x₀）=0，得x₀=1．

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．∵x₀∈[e^-1，e]，∴h（x₀）∈[-4e²，-2e²]，
所以实数b的取值范围为：b|-4e²≤b≤-2e²．（14分）

点评：本题第一问主要研究利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性时，一般结论是：导数大于0对应区间为原函数的递增区间；导数小于0对应区间为原函数的递减区间．