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已知函数f(x)=
(x2-2ax)ex,x>0
bx,x≤0
,g(x)=clnx+b
,且x=
2
是函数y=f(x)的极值点.
(I)求实数a的值,并确定实数m的取值范围,使得函数?(x)=f(x)-m有两个零点;
(II)是否存在这样的直线l,同时满足:①l是函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线;  ②l与函数y=g(x)的图象相切于点P(x0,y0),x0∈[e-1,e],如果存在,求实数b的取值范围;不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)先求出其导函数,利用x=
2
是函数y=f(x)的极值点对应 f′(
2
)=0
,求出a的值,进而求出函数f(x)的单调性;函数y=f(x)-m有两个零点,转化为函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点,利用导函数求出函数y=f(x)的单调区间,画出草图,结合图象即可求出实数m的取值范围.
(II)利用导函数分别求出两个函数的切线方程,利用方程相等,对应项系数相等即可求出关于实数b的等式,再借助于其导函数即可求出实数b的取值范围.(注意范围限制).
解答:解:(I)x>0时,f(x)=(x2-2ax)ex,∴f'(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+2(1-a)x-2a]ex
由已知,f′(
2
)=0
[2+2
2
(1-a)-2a]e
2
=0
,∴2+2
2
-2a-2
2
a=0

得a=1,所以x>0时,f(x)=(x2-2x)ex,∴f'(x)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x2-2)ex.(3分)
令f'(x)=0得x=
2
(x=-
2
舍去).

当x>0时,
x∈(0,
2
)
时,f(x)单调递减,f(x)∈((2-2
2
)e
2
,0)

x∈(
2
,+∞)
f(x)单调递增,f(x)∈((2-2
2
)e
2
,+∞)
∴x>0时,f(x)∈((2-2
2
)e
2
,+∞)

要使函数?(x)=f(x)-m有两个零点,即方程f(x)-m=0有两不相等的实数根,也即函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点.
(1)当b>0时,m=0或m=(2-2
2
)e
2

(2)当b=0时,m∈(2-2
2
)e
2
,0)

(3)当b<0时,m∈((2-2
2
)e
2
,+∞)
.(6分)
(II)假设存在,x>0时,f(x)=(x2-2x)ex,f'(x)=(x2-2)ex,∴f(2)=0,f'(2)=2e2
函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线l的方程为:y=2e2(x-2),
因直线l与函数g(x)的图象相切于点P(x0,y0),x0∈[e-1,e],∴y0=clnx0+b.g′(x)=
c
x

所以切线l的斜率为g′(x)=
c
x0

所以切线l的方程为:y-y0=
c
x0
(x-x0)
即l的方程为:y=
c
x0
x-c+b+clnx0

c
x0
=2e2
-c+b+clnx0=-4e2
c=2e2x0
b=c-clnx0-4e2

得b=2e2(x0-x0lnx0-2)其中x0∈[e-1,e](10分)
记h(x0)=2e2(x0-x0lnx0-2)其中x0∈[e-1,e],h'(x0)=-2e2lnx0
令h'(x0)=0,得x0=1.

又h(e)=-4e2,h(e-1)=4e-4e2>-4e2.∵x0∈[e-1,e],∴h(x0)∈[-4e2,-2e2],
所以实数b的取值范围为:b|-4e2≤b≤-2e2.(14分)
点评:本题第一问主要研究利用导数研究函数的单调性.利用导数研究函数的单调性时,一般结论是:导数大于0对应区间为原函数的递增区间;导数小于0对应区间为原函数的递减区间.
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1
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1
3
,1)
B、(
1
3
1
2
]
C、(
1
3
6
11
]
D、[
6
11
,1

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