Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a-1）x²+bx（a，b为常数）在x=1和x=4处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，2]时，y=f（x）的图象在直线5x+2y-c=0的下方，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再由题设知$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（4）=0}\end{array}\right.$，解得求出a，b的值，即可得到函数的解析式；
（2）分离参数，得到c＞$\frac{2}{3}$x³-5x²+13x，构造函数g（x）=$\frac{2}{3}$x³-5x²+13x，x∈[-2，2]，求出函数的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²+（a-1）x+b，
由题设知$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（4）=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1+（a-1）+b=0}\\{16+4（a-1）+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²+4x；
（2）由题设知f（x）＜-$\frac{1}{2}$（5x-c），
即c＞$\frac{2}{3}$x³-5x²+13x，
设g（x）=$\frac{2}{3}$x³-5x²+13x，x∈[-2，2]，
所以c只要大于g（x）的最大值即可，
g′（x）=2x²-10x+13，当x∈（-2，2）时g′（x）＞0，
所以函数g（x）在（-2，2）单调递增，
所以g（x）_max=g（2）=$\frac{34}{3}$，
所以c＞$\frac{34}{3}$．

点评 本题考查了导数和函数的极值的关系，以及恒成立问题，关键是分离参数，构造函数，求最值，属于中档题．