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4.已知函数f(x)=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}$(a-1)x2+bx(a,b为常数)在x=1和x=4处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[-2,2]时,y=f(x)的图象在直线5x+2y-c=0的下方,求c的取值范围.

分析 (1)先求导,再由题设知$\left\{\begin{array}{l}{f′(1)=0}\\{f′(4)=0}\end{array}\right.$,解得求出a,b的值,即可得到函数的解析式;
(2)分离参数,得到c>$\frac{2}{3}$x3-5x2+13x,构造函数g(x)=$\frac{2}{3}$x3-5x2+13x,x∈[-2,2],求出函数的最值即可.

解答 解:(1)f′(x)=x2+(a-1)x+b,
由题设知$\left\{\begin{array}{l}{f′(1)=0}\\{f′(4)=0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{1+(a-1)+b=0}\\{16+4(a-1)+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$,
所以f(x)=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{5}{2}$x2+4x;
(2)由题设知f(x)<-$\frac{1}{2}$(5x-c),
即c>$\frac{2}{3}$x3-5x2+13x,
设g(x)=$\frac{2}{3}$x3-5x2+13x,x∈[-2,2],
所以c只要大于g(x)的最大值即可,
g′(x)=2x2-10x+13,当x∈(-2,2)时g′(x)>0,
所以函数g(x)在(-2,2)单调递增,
所以g(x)max=g(2)=$\frac{34}{3}$,
所以c>$\frac{34}{3}$.

点评 本题考查了导数和函数的极值的关系,以及恒成立问题,关键是分离参数,构造函数,求最值,属于中档题.

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