Question

已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（1）求证：B₁D₁⊥AE；
（2）求证：AC∥平面B₁DE；
（3）（文）求三棱锥A-BDE的体积．
（理）求三棱锥A-B₁DE的体积．

Answer 1

分析：（1）先证BD⊥面ACE，从而证得：B₁D₁⊥AE；
（2）作BB₁的中点F，连接AF、CF、EF．由E、F是CC₁、BB₁的中点，易得AF∥ED，CF∥B₁E，从而平面ACF∥面B₁DE．证得AC∥平面B₁DE；
（3）易知底为面ABD，高为EC，由体积公式求得三棱锥A-BDE的体积．

解答：解：（1）证明：连接BD，则BD∥B₁D₁，（1分）
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．
又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）
∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，
∴B₁D₁⊥AE．（5分）

（2）证明：作BB₁的中点F，连接AF、CF、EF．
∵E、F是CC₁、BB₁的中点，∴CE

∥

.

B₁F，
∴四边形B₁FCE是平行四边形，
∴CF∥B₁E．（7分）
∵E，F是CC₁、BB₁的中点，∴EF

∥ .

.

BC，
又BC

∥ .

.

AD，∴EF

∥ .

.

AD．
∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，
∵AF∩CF=F，B₁E∩ED=E，
∴平面ACF∥面B₁DE．（9分）
又AC?平面ACF，∴AC∥面B₁DE．（10分）

（3）（文）S△ABD=

1

2

AB•AD=2． （11分）
VA-BDE=VE-ABD=

1

3

S△ABD•CE=

1

3

S△ABD•CE=

2

3

．（14分）
（理）∵AC∥面B₁DE
∴A 到面B₁DE 的距离=C到面B₁DE 的距离（11分）
∴VA-B1DE=VC-B1DE=VD-B1EC=

1

3

•(

1

2

•1•2)•2=

2

3

（14分）

点评：本题主要考查线面垂直和面面平行的判定定理，特别要注意作辅助线．