练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
    qq-1
    （an-1）（n∈N*，q是大于0的常数，且q≠1），数列{bn}是公比不为q的等比数列，cn=an+bn．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）设q=2，bn=3n，是否存在实数λ，使数列{cn+1+λcn}是等比数列？若存在，求出所有可能的实数λ的值，若不存在说明理由；
    （Ⅲ）数列{cn}是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的q和bn的组合，若不能，请说明理由．
    分析：（I）利用数列的项与前n项和的关系将项与和的关系转化为项的递推关系，据等比数列的定义判断出是等比数列，求出通项．
    （II）据等比数列等价于从第二项起，每一项都为前后两项的等比中项，列出等式，求出λ的值．
    （III）求出前三项，通过前三项不能成等比数列，证得数列不能成等比数列．
    解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
    q
    q-1
    (an-1)-
    q
    q-1
    (an-1-1)    ，
    整理得an=qan-1
    又由S1=a1=
    q
    q-1
    (a1-1)    ，得a1=q
    结合q＞0知，数列an是首项为q公比为q的等比数列，
    ∴an=q•qn-1=qn
    （Ⅱ）结合（Ⅰ）知，当q=2时，an=2n，所以cn=2n+3n
    假设存在实数λ，使数列cn+1+λcn是等比数列，则对任意n≥2有
    （cn+1+λcn）2=（cn+2+λcn+1）（cn+λcn-1），将cn=2n+3n代入上式，得：
    [2n+1+3n+1+λ（2n+3n）]2=[2n+2+3n+2+λ（2n+1+3n+1）]•[2n+3n+λ（2n-1+3n-1）]，
    即[（2+λ）2n+（3+λ）3n]2=[（2+λ）2n+1+（3+λ）3n+1][（2+λ）2n-1+（3+λ）3n-1]，
    整理得
    1
    6
    （2+λ）（3+λ）•2n•3n=0，解得λ=-2或λ=-3．
    故存在实数实数λ=-2或-3，使使数列cn+1+λcn是等比数列．
    （Ⅲ）数列{cn}不可能为等比数列．
    理由如下：设等比数列{bn}的公比分别为p，则由题设知p≠q，则cn=qn+b1pn-1
    为证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1•c3．
    事实上，c22=（q2+b1p）2=q4+2q2b1p+b12p2，①
    c1•c3=（q+b1）（q3+b1p2）=q4+b12p2+b1q（p2+q2），．②
    ②-①得
    c1c3-c22=b1q（p2+q2-2pq）
    由于p≠q时，p2+q2＞2pq，又q及等比数列的首项b1均不为零，
    所以c1c3-c22≠0，即c22≠c1•c3．故{cn}不是等比数列．
    点评：利用Sn求an时，注意要分n≥2和n=1两段求，在判断求出的两段是否能合成一段；证明数列是等比数列与证明一个数列不是等比数列的区别：若是，需证得任意三项成等比数列，若不是，只需证的前三项不是等比数列即可．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    19、已知数列{an}的前n项和Sn=n2（n∈N*），数列{bn}为等比数列，且满足b1=a1，2b3=b4
    （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
    （2）求数列{anbn}的前n项和．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn（a、b∈R），且S25=100，则a12+a14等于（　　）
    A、16B、8C、4D、不确定

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1，那么它的通项公式为an=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    13、已知数列{an}的前n项和为Sn=3n+a，若{an}为等比数列，则实数a的值为
    -1
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2，又a1=2，a2=1．
    （1）求k的值及通项公式an．
    （2）求Sn．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案