【题目】定义在R上的函数f(x)满足,.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)的单调区间;
(3)给出定义:若s,t,r满足,则称s比t更接近于r,当x≥1时,试比较和哪个更接近,并说明理由.
【答案】(1).(2)答案不唯一,见解析;(3)当时,比更靠近.理由见解析
【解析】
(1)求出函数的导数,利用赋值法,求出f′(1)=f′(1)+2﹣2f(0),得到f(0)=1.然后求解f′(1),即可求出函数的解析式.
(2)求出函数的导数g′(x)=ex-a(x-1),结合a≥0,a<0,分求解函数的单调区间即可.
(3)构造,通过函数的导数,判断函数的单调性,结合当1≤x≤e时,当1≤x≤e时,推出|p(x)|<|q(x)|,说明比ex﹣1+a更靠近lnx.当x>e时,通过作差,构造新函数,利用二次求导,判断函数的单调性,证明比ex﹣1+a更靠近lnx.
(1),令x=1解得f(0)=1,
由,令x=0得,,
∴.
(2)∵,
∴,
①当时,总有,函数在R上单调递增;
②当时,由得函数在上单调递增,由得函数在上单调递减;
综上,当时,总有,函数在R上单调递增;当时,由得函数在上单调递增,由得函数在上单调递减.
(3)
,
设,,得在[1,+∞]上递减,
所以当1≤x≤e时,;
当x>e时,<0,而,
所以在[1,+∞)上递增,
则在[1,+∞)上递增,.
①当时,,
∴在[1,+∞)上递减,
∴
∴比更靠近;
②当时,
∴,
∴
∴递减,
∴
∴比更靠近;
综上所述,当时,比更靠近.
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【题目】设函数
(1)当时,若是函数的极值点,求证:;
(2)(i)求证:当时,;
(ii)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
注:e=2.71828...为自然对数的底数.
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【题目】已知直线:(为参数),曲线:(为参数).
(1)设与相交于两点,求;
(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点P是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值.
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【题目】已知椭圆C:的左、右焦点分别为,,离心率为,点在椭圆C上,且⊥,△F1MF2的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知直线l与椭圆C交于A,B两点,,若直线l始终与圆相切,求半径r的值.
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【题目】环境指数是“宜居城市”评比的重要指标,根据以下环境指数的数据,对名列前20名的“宜居城市”的环境指数进行分组统计,结果如表所示,现从环境指数在和内的“宜居城市”中随机抽取2个市进行调研,则至少有1个市的环境指数在的概率为( )
组号 | 分组 | 频数 |
1 | 2 | |
2 | 8 | |
3 | 7 | |
4 | 3 |
A.B.C.D.
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【题目】2019年9月20日,黔东南州第十届旅游产业发展大会在凯里市举行,大会指出了交通对旅游业的发展有着深刻的影响,并引起了相关部门的高度重视.现针对凯里市区重要道路网中的个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如下图所示.(交通指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值,记为,其范围为,分别有五个级别:,畅通;,基本畅通;,轻度拥堵;,中度拥堵;,严重拥堵)
(1)利用频率分布直方图估计凯里市区这个交通路段的交通指数的众数与平均数.
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取个路段,再从这个路段中任取个,求至少有个路段为中度拥堵的概率.
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【题目】如图,在四棱锥中,四边形是矩形,是等边三角形,平面平面,,为棱上一点,为的中点,四棱锥的体积为.
(1)若为棱的中点,是的中点,求证:平面平面;
(2)是否存在点,使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为?若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且满足f(x﹣2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=ln(x2﹣x+1),则方程f(x)=0在区间[0,8]上的解的个数是( )
A.3B.5C.7D.9
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