Question

已知函数f（x）=acosx+xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）求集合A={x|f（x）=0}中元素的个数；
（Ⅲ）当1＜a＜2时，问函数f（x）有多少个极值点？（只需写出结论）

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：综合题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）证明f（-x）=f（x），即可证明f（x）是偶函数．
（Ⅱ）分情况讨论：当a＞0时，因为 f（x）=acosx+xsinx＞0，x∈[-

π

2

，

π

2

]恒成立，
当a=0时，令f（x）=xsinx=0，得 x=0．
当a＜0时，函数f（x）是[0，

π

2

]上的增函数．由f(0)=a＜0，f(

π

2

)=

π

2

＞0，可得f（x）在(0，

π

2

)上只有一个零点．
综上所述，即可求出集合A={x|f（x）=0}中元素的个数；
（Ⅲ）函数f（x）有3个极值点．

解答： （共13分）
解：（Ⅰ）函数f（x）是偶函数，证明如下：…（1分）
对于?x∈[-

π

2

，

π

2

]，则-x∈[-

π

2

，

π

2

]．…（2分）
因为 f（-x）=acos（-x）-xsin（-x）=acosx+xsinx=f（x），
所以 f（x）是偶函数．…（4分）
（Ⅱ）当a＞0时，因为 f（x）=acosx+xsinx＞0，x∈[-

π

2

，

π

2

]恒成立，
所以 集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为0．…（5分）
当a=0时，令f（x）=xsinx=0，由x∈[-

π

2

，

π

2

]，
得 x=0．
所以 集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为1．…（6分）
当a＜0时，因为 f′(x)=-asinx+sinx+xcosx=(1-a)sinx+xcosx＞0，x∈(0，

π

2

)，
所以 函数f（x）是[0，

π

2

]上的增函数．…（8分）
因为 f(0)=a＜0，f(

π

2

)=

π

2

＞0，
所以 f（x）在(0，

π

2

)上只有一个零点．
由f（x）是偶函数可知，集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为2．…（10分）
综上所述，当a＞0时，集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为0；当a=0时，集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为1；当a＜0时，集合A={x|f（x）=0}中元素的
个数为2．
（Ⅲ）函数f（x）有3个极值点．…（13分）

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，函数的性质及应用，属于中档题．