Question

已知函数f（x）=ax²，g（x）=2elnx，（e为自然对数的底数）．
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间，若F（x）有最值，请求其最值；
（2）是否存在正常数a，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）对F（x）求导数，得F'（x）=

2ax2-2e

x

，x＞0．然后分a的正负进行讨论，可得函数的单调性，从而得到当a≤0时，F（x）没有最值；当a＞0时，F（x）有最小值F（

e a

）=elna，没有最大值．
（2）由（1）的计算结合，可得若存在正常数a满足题中的条件，则必定有F（x）的最小值等于0．由此解出a=1，且f（

e

）=g（

e

）=e，得到函数图象的公共点为（

e

，e），再算出f'（

e

）=g'（

e

）=2

e

，可知f（x）与g（x）在x=

e

处有公共的切线，从而得到得存在正常数a=1能够满足题中的条件．

解答：解：（1）求导数得
F'（x）=f'（x）-g'（x）=2ax-

2e

x

=

2ax2-2e

x

．（x＞0）
①当a≤0时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立
此时，F（x）在（0，+∞）上为减函数，没有最值；
②当a＞0时，解方程F'（x）=0，得x=

e a

在（0，

e a

）上F（x）为减函数，在（

e a

，+∞）上F（x）为增函数
因此F（x）在（0，+∞）上有最小值F（

e a

）=e-2eln

e a

=elna；没有最大值
综上所述，当a≤0时，F（x）没有最值；
当a＞0时，F（x）有最小值F（

e a

）=elna，没有最大值．
（2）假设存在正常数a，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
则函数y=F（x）有且仅有一个零点
结合（1）的结论，可得只需F（x）的最小值等于0
因此有a＞0，且elna=0，解得a=1
[F（x）]_min=f（

e

）-g（

e

）=0，即f（

e

）=g（

e

）=e
∴f（x）与g（x）图象的公共点为（

e

，e）
又∵f'（

e

）=g'（

e

）=2

e

∴f（x）与g（x）的图象在（

e

，e）处有公共的切线
切线方程为y-e=2

e

（x-

e

），即y=2

e

x-e
综上所述，得存在正常数a=1，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
且在该公共点处有共同的切线，公切线方程为y=2

e

x-e．

点评：本题给出两个函数f（x）与g（x），求它们的差对应函数的最值并讨论两个函数图象的公切线问题．着重考查了利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义和函数最值的求法等知识，属于中档题．