Question

12．已知等比数列{a_n}中，a₅=16，a₂，a₇分别是方程x²+mx+128=0的两根．
（1）求m的值以及数列{a_n}的前n项和S_n的表达式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，2${\;}^{{b}_{n}}$=2${\;}^{{b}_{n-1}}$•a_n n≥2，求数列{a_n+b_n-$\frac{1}{2}$n²}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知利用韦达定理和等比数列通项公式列方程组得a₁=1，q=2，由此能求出m的值以及数列{a_n}的前n项和S_n的表达式．
（2）由已知得b_n=b_n-1+n-1，利用累加法求出${{b}_{n}}^{\;}$=$\frac{n（n-1）}{2}+1$，由此利用分组求和法能求出数列{a_n+b_n-$\frac{1}{2}$n²}的前n项和．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}中，a₅=16，a₂，a₇分别是方程x²+mx+128=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{5}={a}_{1}{q}^{4}=16}\\{{a}_{2}•{a}_{7}={a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{6}=128}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，q=2，
∴${a}_{2}=2，{a}_{7}={2}^{6}=64$，
∴m=a₂+a₇=66．
${S}_{n}=\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1．
（2）∵a₁=1，q=2，∴${a}_{n}={2}^{n-1}$，
∵{b_n}满足b₁=1，2${\;}^{{b}_{n}}$=2${\;}^{{b}_{n-1}}$•a_n，n≥2，
∴b_n=b_n-1+n-1，
∴${{b}_{n}}^{\;}$=b₁+b₂-b₁+b₃-b₂+…+b_n-b_n-1
=1+1+2+3+…+n-1
=$\frac{n（n-1）}{2}+1$
∴a_n+b_n-$\frac{1}{2}$n²=${2}^{n-1}+\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{n}{2}+1-\frac{{n}^{2}}{2}$=${2}^{n-1}-\frac{n}{2}+1$，
∴数列{a_n+b_n-$\frac{1}{2}$n²}的前n项和：
T_n=（1+2+2²+…+2^n-1）-$\frac{1}{2}$（1+2+3+…+n）-n
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-$\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）}{2}$-n
=${2}^{n}-\frac{n（n+1）}{4}-n-1$．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意韦达定理、等比数列的性质、累加求和法和分组求和法的合理运用．