Question

已知函数f(x)＝－x³＋x²－2x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求实数a的取值范围；
(3)若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

(1) 单调递增区间为 ，单调递减区间为 和；(2) ；(3)

试题分析：(1)求导，令导数大于0得增区间令导数小于0得减区间。(2) 对于任意都有成立，转化为对于任意都有。求时可根据求导求单调性求最值，也可直接根据二次函数问题求其单调区间再求其最值。(3)先在曲线上任取一点，根据导数的几何意义求其过此点的切线的斜率，再用点斜式求切线方程。将代入直线方程。分析可知此方程应有3个不同的解。将上式命名新函数，用单调性求此函数的极值点可知一个极值应大于0，另一个极值应小于0.
试题解析：(1)当时，函数，
得．                            1分
所以当时，，函数f(x)单调递增；                    2分
当x＜1或x＞2时，，函数f(x)单调递减．                      3分
所以函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ．4分
(2)由，得，            5分
因为对于任意都有成立，
所以问题转化为对于任意都有．          6分
因为，其图象开口向下，对称轴为.
①当，即时，在上单调递减，
所以，
由，得，此时.                 7分
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由，得，此时.                 8分
综上可得，实数的取值范围为 ．                   9分
(3)设点是函数图象上的切点，
则过点的切线的斜率，                    10分
所以过点P的切线方程为，     11分
因为点在该切线上，
所以，
即.
若过点可作函数图象的三条不同切线，
则方程有三个不同的实数解．                    12分
令，则函数的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．
令，解得或.
因为，，                     13分
所以必须，即.
所以实数的取值范围为 ．                             14分