已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)当时,在曲线
上是否存在两点
,使得曲线在
两点处的切线均与直线
交于同一点?若存在,求出交点纵坐标的取值范围;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)若在区间
存在最大值
,试构造一个函数
,使得
同时满足以下三个条件:①定义域
,且
;②当
时,
;③在
中使
取得最大值
时的
值,从小到大组成等差数列.(只要写出函数
即可)
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)存在,且交点纵坐标的取值范围是;(Ⅲ)详见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)对参数的值影响函数极值点的存在与否进行分类讨论,结合求解导数不等式求相应的单调区间;(Ⅱ)先将曲线在点
、
处的切线方程求出,并将交点的坐标假设出来,利用交点坐标满足两条切线方程,得到两个不同的等式,然后利用等式的结构进行相应转化为函数的零点个数来处理;(Ⅲ)可以根据题中的条件进行构造,但要注意定义域等相应问题.
试题解析:(Ⅰ)依题可得 ,
当时,
恒成立,函数
在
上单调递增;
当时,由
,解得
或
,
单调递增区间为
和
.
4分
(Ⅱ)设切线与直线的公共点为
,当
时,
,
则,因此以点
为切点的切线方程为
.
因为点在切线上,所以
,即
.
同理可得方程.
6分
设,则原问题等价于函数
至少有两个不同的零点.
因为,
当或
时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减.
因此,在
处取极大值
,在
处取极小值
.
若要满足至少有两个不同的零点,则需满足
解得
.
故存在,且交点纵坐标的取值范围为. 10分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,即
. 11分
本题答案不唯一,以下几个答案供参考:
①,其中
;
②其中
;
③其中
. 14分
考点:函数的单调区间、函数的零点
科目:高中数学 来源:2012-2013学年广东省江门市新会一中高三(上)第四次检测数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2014届云南省高一上学期期末考试数学 题型:解答题
(本题满分10分)已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若把向右平移
个单位得到函数
,求
在区间
上的最小值和最大值.
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科目:高中数学 来源:2008年普通高等学校招生全国统一考试陕西文科数学 题型:解答题
(本小题满分12分)已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期及最值;
(Ⅱ)令,判断函数
的奇偶性,并说明理由.
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