Question

如图，在棱长均为4的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、D₁分别是BC和B₁C₁的中点，
(1)求证：A₁D₁∥平面AB₁D；
(2)若平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∠B₁BC=60°，求三棱锥B₁-ABC的体积．

Answer 1

(1)证明：如图，连接DD1，在三棱柱ABC-A1B1C1中， 因为D、D1分别是BC、B1C1的中点， 所以B1D1∥BD，且B1D1=BD， 所以四边形B1BDD1为平行四边形， 所以BB1∥DD1，且BB1=DD1， 又因为AA1∥BB1，AA1=BB1， 所以AA1∥DD1，AA1=DD1， 所以四边形AA1D1D为平行四边形， 所以A1D1∥AD， 又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D， 故A1D1∥平面AB1D。 (2)解：在△ABC中，因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC． 因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD平面ABC， 所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A-B1BC的高， 在△ABC中，由AB=AC=BC=4得， 在△B1BC中，B1B=BC=4．∠B1BC=60°， 所以△B1BC的面积， 所以三棱锥B1-ABC的体积，即三棱锥A-B1BC的体积 。