Question

已知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t（单位：分钟）的变化规律是：θ=m•2^t+2^1-t（t≥0，并且m＞0）．
（1）如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
（2）若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将m=2，θ=5代入θ=m•2^t+2^1-t（t≥0）解指数方程即可求出t的值；
（2）问题等价于m•2^t+2^1-t≥2（t≥0）恒成立，求出m•2^t+2^1-t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．

解答：解：（1）依题意可得5=2•2^t+2^1-t，
即2•（2^t）²-5•2^t+2=0．
亦即（2•2^t-1）（2^t-2）=0，
又∵t≥0，得2^t=2，
∴t=1．
故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度．
（2）问题等价于m•2^t+2^1-t≥2（t≥0）恒成立．
∵m•2^t+2^1-t=m•2^t+2•2^-t≥2

2m

，①
∴只需2

2m

≥2，
即m≥

1

2

．
当且仅当

1

2

•2^t=2•2^-t，
即t=1时，①式等号成立，
∴m的取值范围是[

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查了不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．