Question

有下列叙述：
①函数f(x)=sin(

x

2

+

3π

4

)的最小正周期为4π；
②已知函数f（x）=

1+x2

1-x2

(x≠±1)，则f(2)+f(3)+f(4)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+f(

1

4

)=3；
③函数y=cos²x+sinx的最小值是-1；
④定义：若任意x∈A，总有a-x∈A（A≠∅），就称集合A为a的“闭集”，已知集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A为6的“闭集”，则这样的集合A共有7个．
其中叙述正确的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：根据正弦函数的周期性，求出函数的周期，可判断①；根据已知中的函数解析式，求出f（x）+f（

1

x

）=0，可判断②；根据平方关系及二次函数的图象和性质求出函数的最小值，可判断③，根据已知中“闭集”的定义，求出集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A为6的“闭集”，可判断④．

解答：解：函数f(x)=sin(

x

2

+

3π

4

)的ω=

1

2

，则周期T=

2π

ω

=4π，故①正确；
已知函数f（x）=

1+x2

1-x2

，f（

1

x

）=

1+ 1 x2

1- 1 x2

=

x2+1

x2-1

=-

1+x2

1-x2

，故f（x）+f（

1

x

）=0，故f（2）+f（3）f（4）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+f（

1

4

）=0，故②错误
函数y=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-

1

2

）²+

5

4

，当sinx=-1时，函数y=cos²x+sinx的最小值是-1，故③正确；
集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A为6的“闭集”，则这样的集合A共有
{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共7个，故④正确．
故答案为：①③④

点评：本题考查的知识点是三周函数的周期性，值域，函数求值，是逻辑与其它章节的综合应用，难度中档．