Question

6．在四棱锥中P-ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD、E、F，分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，证明：EF∥PA，即可证明EF∥平面PAD；
（2）以O为原点，分别以射线OA，OF和OP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，O-xyz，利用向量方法，即可求解．

解答 （1）证明：连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，
所以，在△PAC中，EF∥PA…（1分）
又PA?平面PAD，EF?平面PAD…（3分）
所以EF∥平面PAD…（4分）
（2）取AD的中点O，连接OP，OF，
因为PA=PD，所以PO⊥AD，
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，所以PO⊥平面ABCD，
以O为原点，分别以射线OA，OF和OP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，O-xyz，不妨设AD=2…（6分）
则有P（0，0，1），D（-1，0，0），C（-1，2，0），假设在AB上存在点G（1，a，0），0＜a＜2，
则$\overrightarrow{PC}$=（-1，2，-1），$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{DG}$=（2，a，0）…（7分）
因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，且底面是正方形，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥PA，
由PA²+PD²=AD²得PD⊥PA，
所以PA⊥PDC，即平面PDC的一个法向量为$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1）…（8分）
设平面PDG的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{{\begin{array}{l}{-x-z=0}\\{2x+a=0}\end{array}}\right.$，亦即$\left\{{\begin{array}{l}{z=-x}\\{y=-\frac{2x}{a}}\end{array}}\right.$，可取$\overrightarrow{n}$=（a，-2，-a）…（9分）
由二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，可得a=1…（10分），
所以线段AB上存在点G，且G为AB的中点，使得二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查线面平行的判定，考查面面角，考查向量方法的运用，属于中档题．