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     [番茄花园1] 设数列，，…，，…中的每一项都不为0.

    证明，为等差数列的充分必要条件是：对任何都有

    .

     

     

     

     [番茄花园1]20.

    【答案】

     [番茄花园1] 证：先证必要性.

    设数列的公差为.若，则所述结论显然成立.

    若，则

    再证充分性.

    证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切都成立.首先，在等式

                        ①

    两端同乘，即得，所以，，成等差数列，记公差为，则.

    假设，当时，观察如下二等式

                        ②

                 ③

    将②代入③，得，

    在该式两端同乘，得，

    将代入其中，整理后，得.

    由数学归纳当原理知，对一切都有，所以是公差为的等差数列.

    证法2：(直接证法)依题意有

                  ①

                ②

    ②-①得 

    在上式两端同乘，得                   ③

    同理可得                                      ④

    ③-④得，

    即，所以为等差数列.

     

     [番茄花园1]20.

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