Question

已知函数f(x)=

3

sin2x+2cos2x-m．
（1）若方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解，求m的取值范围；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，当（1）中的m取最大值且f（A）=-1，b+c=2时，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式对函数f（x）进行化简，再由方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解可得到m=2sin(2x+

π

6

)+1在[0，

π

2

]内有解，根据x的范围可求得2x+

π

6

的范围，再根据正弦函数的性质可求得m的范围．
（2）将m=3代入得到f（A）的表达式，根据f（A）=-1和A的范围可求得A的值，再由b+c=2≥2

bc

和余弦定理可求得a的最小值．

解答：解：（1）f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1-m，∴m=2sin(2x+

π

6

)+1在[0，

π

2

]内有解
∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

∴0≤2sin(2x+

π

6

)+1≤3，∴0≤m≤3

（2）∵m=3，∴f(A)=2sin(2A+

π

6

)-2=-1，
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，∴2A+

π

6

=

π

6

+2kπ或2A+

π

6

=

5π

6

+2kπ，(k∈Z)
∵A∈（0，π）∴A=

π

3

∵b+c=2≥2

bc

当且仅当b=c时bc有最大值1．
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=4-3bc，
∴a有最小值1，此时b=c=1．

点评：本题主要考查二倍角公式、余弦定理和两角和与差的公式的应用．高考对三角函数的考查以基础题为主，但是这部分公式比较多不容易记忆，也为这一部分增加了难度．