Question

【题目】甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含 4 局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】解：（I）用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜，

则P（Ak）= ，P（Bk）= ，k=1，2，3，4，5

P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（ ）2+ （ ）2+ × ×（ ）2= ．

（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．

P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）= ，

P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）= ，

P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）= ，

P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）= ，

或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ，

故分布列为：

X	2	3	4	5
P

E（X）=2× +3× +4× +5× =

【解析】（Ⅰ）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．

（Ⅱ）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及数学期望．

【考点精析】通过灵活运用离散型随机变量及其分布列，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列即可以解答此题．