【题目】已知函数
(1)求的单调区间;
(2)若在上存在一点,使得成立,求a的取值范围.
【答案】(1)当时,函数在上单调递增.当时,函数在上单调递增,在上单调递减. (2)实数a的取值范围是或.
【解析】
(1) ,则分和两种情况结合定义域讨论函数的定义域.
(2) 若在上存在一点,使得成立,即在上有,由(1)中的单调性,得出的最小值,解不等式,得到参数的范围.
(1)
当即时,在上,所以函数在上单调递增.
当即时,在上,在上
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
(2)若在上存在一点,使得成立,即,.
①由(1)可知,当时,函数在上单调递增,
,即
②时,函数在上单调递减,在上单调递增.
当即时,函数在上单调递减,
,即.
因为,所以.
当即时,函数在上单调递增,
,即(舍)
当,即时,函数在上单调递减,在上单调递减.
此时,则,所以
即,所以无解.
综上所以:实数a的取值范围是或.
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【题目】已知向量=(sin x,cos x),=(cos x,cos x),=(2,1).
(1)若∥,求sin xcos x的值;
(2)若0<x≤,求函数f(x)=·的值域.
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【题目】某高中为了选拔学生参加“全国高中数学联赛”,先在本校进行初赛(满分150分),随机抽取100名学生的成绩作为样本,并根据他们的初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数.
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【题目】某地统计局调查了10000名居民的月收入,并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示。
(1)求居民月收入在[3000,3500)内的频率;
(2)根据频率分布直方图求出样本数据的中位数;
(3)为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析,则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人?
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【题目】某县大润发超市为了惠顾新老顾客,决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦,迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案,该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下:将一个的正方体各面均涂上红色,再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后,从中任取两个小正方体,记它们的着色面数之和为,记抽奖中奖的礼金为.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)凡是元旦当天在超市购买物品的顾客,均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6,设为一等奖,获得价值50元礼品;记抽取的两个小正方体着色面数之和为5,设为二等奖,获得价值30元礼品;记抽取的两个小正方体着色面数之和为4,设为三等奖,获得价值10元礼品,其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.
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