Question

3．下列函数中，既为奇函数又在（0，+∞）内单调递减的是（　　）

• A． f（x）=x³
• B． f（x）=${x}^{-\frac{1}{2}}$
• C． f（x）=-x
• D． f（x）=x+$\frac{3}{x}$

Answer 1

分析 可以看出f（x）=x³为增函数，而$f（x）={x}^{-\frac{1}{2}}$的定义域为（0，+∞），定义域不关于原点对称，从而判断该函数不是奇函数，这样便可判断A，B错误，而容易判断C正确，对于选项D的函数，可以通过求导数，判断其在（0，+∞）上的单调性，从而可说明D错误．

解答 解：A．f（x）=x³在（0，+∞）内单调递增；
B.$f（x）={x}^{-\frac{1}{2}}$的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，∴该函数非奇非偶；
C．f（x）=-x显然为奇函数，且在（0，+∞）内单调递减，∴该选项正确；
D.$f（x）=x+\frac{3}{x}$，$f′（x）=\frac{{x}^{2}-3}{{x}^{2}}$，∴f（x）在$[\sqrt{3}，+∞）$单调递增．
故选C．

点评 考查对函数f（x）=x³的单调性的掌握，奇函数的定义域的特点，以及一次函数的单调性和奇偶性，根据导数符号判断函数单调性的方法．