Question

已知关于x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有两个实数根，

a

=（-1，1，3），

b

=（1，0，-2），

c

=a+tb，当|

c

|取最小值时，求t的值．

Answer 1

考点：空间两点间的距离公式

专题：平面向量及应用

分析：根据关于实数x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有两个实根，得出△≥0，解得t的取值范围，再根据向量模的概念求出|

c

|的表达式，最后利用二次函数的性质求出最小值即可．

解答： 解：∵关于实数x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有两个实根，
∴△=（t-2）²-4（t²+3t+5）≥0----------（2分）
解得：-4≤t≤-

4

3

-----------（2分）       
∵向量

a

=（-1，1，3），

b

=（1，0，-2），
∴|

c

|²=（

a

+t

b

）²=5t²-10t+11-----------（3分）
当t=1，|

c

|_min=

6

---------------（3分）

点评：本小题主要考查向量的模、二次函数的性质、一元二次方程的根的分布与系数的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．