Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x+ （x＞0）都在x=x0处取得最小值．
（1）求f（x0）﹣g（x0）的值．
（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），h（x）的极值点之和落在区间（k，k+1），k∈N，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=xlnx，x＞0，

∴f′（x）=1+lnx，

令f′（x）=1+lnx=0，解得x= ，

当x＞ 时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

当0＜x＜ 时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

∴当x= ，且f（ ）=﹣ ，

∵f（x）=xlnx，g（x）=x+ （x＞0）都在x=x0处取得最小值，

∴x0= ，

∵g（x）=x+ （x＞0），

∴g′（x）=1﹣ ，

∴g′（ ）=1﹣ =0，

解得a=e2，

∴g（x0）=g（ ）= + ，

∴f（x0）﹣g（x0）=﹣ + + =

（2）解：函数h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx﹣x﹣ ，

∴h′（x）=1+lnx﹣1+ =lnx﹣ ，

设φ（x）=lnx﹣ ，

∴φ′（x）= + ＞0，

∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴h′（1）h（e）＜0，

∴h′（x）在（1，e）上存在唯一的零点，

∵h（x）的极值点之和落在区间（k，k+1），

∴k=1

【解析】（1）先利用导数求出f（x）的极值点和极值，继而求出a的值，再求出g（x）的极值，问题得以解决，（2）先求导得到h′（x）=lnx﹣ ，再根据函数零点存在定理即可判断零点所在的区间．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．