Question

6．记S=1!2!…100!，有一个整数k，1≤k≤100，使$\frac{S}{k!}$是一个完全平方数，则k=50．

Answer 1

分析 由已知S=1!2!…100!=1¹⁰⁰•2⁹⁹•3⁹⁸•4⁹⁷•5⁹⁶•…•98³•99²•100=（1⁵⁰•2⁴⁹•3⁴⁹•4⁴⁸•5⁴⁸•…•98•99）²•（2²⁵）²•50！，可得答案．

解答 解：∵S=1!2!…100!=1¹⁰⁰•2⁹⁹•3⁹⁸•4⁹⁷•5⁹⁶•…•98³•99²•100=1¹⁰⁰•2⁹⁸•3⁹⁸•4⁹⁶•5⁹⁶•…•98²•99²•（2•4•6•…•100）=（1⁵⁰•2⁴⁹•3⁴⁹•4⁴⁸•5⁴⁸•…•98•99）²•（2²⁵）²•（1•2•3•4•…•50），
∵（1⁵⁰•2⁴⁹•3⁴⁹•4⁴⁸•5⁴⁸•…•98•99）²•（2²⁵）²是一个完全平方数，1•2•3•4•…•50=50！，
故当k=50时，$\frac{S}{k!}$是一个完全平方数，
故答案为：50

点评 本题考查的知识点是简单逻辑运算，本题转化比较困难，难度中档．