Question

已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x-y+10=0上。
（1）若动圆C过点（-5，0），求圆C的方程；
（2）是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x²+y²=r²相外切的圆有且只有一个？若存在，请求出r的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）依题意，可设动圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=25，
其中圆心（a，b）满足a-b+10=0，
又∵动圆过点（-5，0），故（-5-a）²+（0-b）²=25，
解方程组，可得或，
故所求的圆C方程为（x+10）²+y²=25或（x+5）²+（y-5）²=25；
（2）圆O的圆心（0，0）到直线l的距离d==5，
当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x²+y²=r²相切的圆；
当r满足r+5=d，即r=5-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x²+y²=r²相外切；
当r满足r+5＞d，与圆O：x²+y²=r²相外切的圆有两个；
综上：r=5-5时，动圆C中满足与圆O：x²+y²=r²相外切的圆有一个。