Question

7．已知两点A（3，2），B（-1，2），圆C以线段AB为直径．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求过点M（3，1）的圆C的切线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心与半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点M（3，1）的圆C的切线方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得圆心C的坐标为（1，2），---------（2分）
直径$2r=\sqrt{16+0}=4$．故半径r=2----------（4分）
所以，圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=4．--------（5分）
（Ⅱ）∵（3-1）²+（1-2）²=5＞4，∴点M在圆C外部．
（1）当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x=3，
即x-3=0．------------------------------------------------------------（7分）
又点C（1，2）到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r，
即此时满足题意，所以直线x=3是圆的切线．
（2）当切线的斜率存在时，设切线方程为y-1=k（x-3），
即kx-y+1-3k=0，-------------------------------（8分）
则圆心C到切线的距离d=$\frac{|k-2+1-3k|}{\sqrt{k2+1}}$=r=2，------（10分）（距离公式1分）
解得k=$\frac{3}{4}$．-------------------------------------（11分）
∴切线方程为y-1=$\frac{3}{4}$（x-3），即3x-4y-5=0．
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0．-------（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．