Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 ，且双曲线C与斜率为2的直线l相交，且其中一个交点为P（﹣3，0）．
（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；
（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，设双曲线的方程为 ．

∵点P（﹣3，0）在双曲线上，∴a=3．

∵双曲线C的离心率为： ，∴ ．∵c2=a2+b2，∴b=3．

∴双曲线的方程为： ，

其渐近线方程为：y=±x

（2）解：由题意，直线l的方程为y=2（x+3），即y=2x+6，

直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣3，0），F2（0，6）．

∴以F1（﹣2，0）为焦点的抛物线的标准方程为y2=﹣12x

以F2（0，4）为焦点的抛物线的标准方程为x2=24y

【解析】（1）根据点在双曲线上可得a=3，再根据双曲线的离心率可求出 c的值，利用c2=a2+b2，可求出b=3进而求出双曲线的方程，故得渐近线方程。（2）求出直线l与坐标轴的交点F1、F2，进而得到抛物线的方程有两个。
【考点精析】认真审题，首先需要了解抛物线的定义(平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线)．