Question

【题目】电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b<0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：

t(s)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
U(V)	100	75	55	40	30	20	15	10	10	5	5

试求：电压U对时间t的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)

Answer 1

【答案】.

【解析】

对表达式，两边同时取对数，令y＝ln U，a＝ln A，x＝t把非线性方程转化为线性方程。根据题目的数据求解y,x的值，利用线性回归方程中的的计算公式，得出线性回归方程，再还原为非线性回归方程。

对U＝Aebt两边取对数得ln U＝ln A＋bt，令y＝ln U，a＝ln A，x＝t，

则y＝a＋bx，得y与x的数据如下表：

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	4.6	4.3	4.0	3.7	3.4	3.0	2.7	2.3	2.3	1.6	1.6

根据表中数据作出散点图，如图所示，

从图中可以看出，y与x具有较强的线性相关关系，

由表中数据求得＝5，≈3.045，进而可以求得≈－0.313，＝－＝4.61.

所以y对x的线性回归方程为y＝4.61－0.313x.

由y＝ln U，得U＝ey，U＝e4.61－0.313x＝e4.16·e－0.313x.

因此电压U对时间t的回归方程为.