Question

如图，已知某椭圆的焦点是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10，椭圆上不同的两点A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列.

(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标；
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.

Answer 1

(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F₁B|+|F₂B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.
故椭圆方程为=1.
(2)由点B(4,y_B)在椭圆上，得|F₂B|=|y_B|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F₂A|=(－x₁),|F₂C|=(－x₂)，
由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列，得
(－x₁)+(－x₂)=2×,由此得出：x₁+x₂=8.
设弦AC的中点为P(x₀,y₀),则x₀==4.
(3)解法一：由A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)在椭圆上.

① ②

得                 

①－②得9(x₁²－x₂²)+25(y₁²－y₂²)=0,
即9×=0(x₁≠x₂)
将 (k≠0)代入上式，
得9×4+25y₀(－)=0
(k≠0)
即k=y₀(当k=0时也成立).
由点P(4，y₀)在弦AC的垂直平分线上，得y₀=4k+m,所以m=y₀－4k=y₀－y₀=－y₀.
由点P(4，y₀)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，
得－＜y₀＜,所以－＜m＜.
解法二：因为弦AC的中点为P(4,y₀)，所以直线AC的方程为
y－y₀=－(x－4)(k≠0)                         ③
将③代入椭圆方程=1,得
(9k²+25)x²－50(ky₀+4)x+25(ky₀+4)²－25×9k²=0
所以x₁+x₂==8,解得k=y₀.(当k=0时也成立)
(以下同解法一).

略