Question

（2013•东莞一模）向量

a

=(

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx)，

b

=(1，y)，已知

a

∥

b

，且有函数y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的周期；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有f(A-

π

3

)=

3

，边BC=

7

，sinB=

21

7

，求AC的长及△ABC的面积．

Answer 1

分析：由两向量的坐标及平行向量满足的条件列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式整理后得出f（x）的解析式；
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）由f（A-

π

3

）=

3

得sinA的值，根据三角形ABC为锐角三角形，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出sinA的值，再由BC及sinB的值，利用正弦定理求出AC的长，再由BC，AC及cosA的值，利用余弦定理求出AB的长，由AB，AC及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：∵

a

=（

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx），

b

=（1，y），
∴

a

∥

b

=

1

2

y-（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=0，即y=f（x）=2sin（x+

π

3

），
（1）∵ω=1，∴函数f（x）的周期为T=2π；
（2）由f（A-

π

3

）=

3

得2sin（A-

π

3

+

π

3

）=

3

，即sinA=

3

2

，
∵△ABC是锐角三角形，
∴A=

π

3

，
由正弦定理：

BC

sinA

=

AC

sinB

及条件BC=

7

，sinB=

21

7

，得AC=

BCsinB

sinA

=

7 × 21 7

3 2

=2，
又∵BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，即7=AB²+4-2•AB×2×

1

2

，
解得：AB=3，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC•sinA=

3 3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平行向量与共线向量，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．