Question

【题目】已知函数f（x）= ax2+lnx，a∈R． （Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=3x+b在x=1处相切，求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=0时，函数h（x）=f（x）+bx有两个不同的零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）= ax2+lnx，x＞0， ∴f′（x）=ax+ ，
∵曲线y=f（x）与直线y=3x+b在x=1处相切，
∴f′（1）=a+1=3，
∴a=2，
∴f（1）=1+ln1=1，
∴1=3+b，
∴b=﹣2，
（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=ax+ ，
当a≥0时，f′（x）=ax+ ＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，令f′（x）=0，解得x= = ，
当x∈（0， ）时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减，
（Ⅲ）a=0时，函数h（x）=f（x）+bx=lnx+bx
令m（x）=lnx，n（x）=﹣bx，
要使得h（x）有两个零点，即使得m（x）和n（x）图象有两个交点（如图），
容易求得m（x）和n（x）的切点为（e，1），
∴0＜﹣b＜ ，即﹣ ＜b＜0．

【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出k，b的值，（Ⅱ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性关系即可求出．（Ⅲ）当a=0时，若函数h（x）有两个不同的零点，利用数形结合即可求b的取值范围；
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．